- 1. Закон на Гаус за електричеството
- 2. Закон на магнетизма на Гаус
- 3. Законът за индукция на Фарадей
- 4. Законът на Ампер
Уравненията на Максуел са основите на електромагнитната теория, която представлява набор от четири уравнения, свързани с електрическото и магнитното поле. Вместо да изброяваме математическото представяне на уравненията на Максуел, ще се съсредоточим върху това какво е действителното значение на тези уравнения в тази статия. Първото и второто уравнение на Максуел се занимават съответно със статични електрически полета и статични магнитни полета. Третото и четвъртото уравнение на Максуел се занимават съответно с променящи се магнитни полета и променящи се електрически полета.
Уравненията на Максуел са:
- Закон на Гаус за електричеството
- Закон на магнетизма на Гаус
- Законът за индукция на Фарадей
- Законът на Ампер
1. Закон на Гаус за електричеството
Този закон гласи, че електрическият поток извън затворена повърхност е пропорционален на общия заряд, затворен от тази повърхност. Законът на Гаус се занимава със статичното електрическо поле.
Нека разгледаме положителен точков заряд Q. Знаем, че линиите на електрическия поток са насочени навън от положителния заряд.
Нека разгледаме затворена повърхност със затворена в нея Charge Q. Площният вектор винаги е избран за нормален спрямо него, тъй като представлява ориентацията на повърхността. Нека ъгълът, направен от вектора на електрическото поле с вектора на площта, е θ.
Електрическият поток ψ е
Причината за избора на точков продукт е, че трябва да изчислим колко електрически поток преминава през повърхността, представена от вектор на нормална площ.
От закона за кулоните знаем, че електрическото поле (E) поради точков заряд е Q / 4πε 0 r 2.
Като се има предвид сферична симетрия, Интегралната форма на закона на Гаус е:
Следователно електрическият поток Ψ = Q затворен / ε 0
Тук затвореното Q представлява векторната сума на всички заряди вътре в повърхността. Областта, затваряща заряда, може да има всякаква форма, но за да приложим закона на Гаус, трябва да изберем гауссова повърхност, която е симетрична и има равномерно разпределение на заряда. Гаусовата повърхност може да бъде цилиндрична или сферична или равнина.
За да изведем неговата диференциална форма, трябва да приложим теоремата за дивергенцията.
В горното уравнение е диференциален формата на Гаус закон или Максуел уравнение I.
В горното уравнение ρ представлява обемната плътност на заряда. Когато трябва да приложим закона на Гаус върху повърхност с линеен заряд или разпределение на повърхностния заряд, е по-удобно да представим уравнението с плътност на заряда.
Следователно можем да заключим, че разминаването на електрическото поле върху затворена повърхност дава заложеното от него количество заряд (ρ). Чрез прилагане на дивергенция към векторно поле можем да разберем дали повърхността, затворена от векторното поле, действа като източник или мивка.
Нека разгледаме кубоид с положителен заряд, както е показано по-горе. Когато прилагаме дивергенция към електрическото поле, излизащо от кутията (кубоид), резултатът от математическия израз ни казва, че разглежданата кутия (кубоид) действа като източник за изчисленото електрическо поле. Ако резултатът е отрицателен, той ни казва, че кутията действа като мивка, т.е. кутията затваря отрицателен заряд в нея. Ако дивергенцията е Нула, това означава, че в нея няма такса.
От това бихме могли да заключим, че съществуват електрически монополи.
2. Закон на магнетизма на Гаус
Знаем, че линията на магнитния поток тече от северния полюс към южния полюс отвън.
Тъй като има магнитни потокови линии, дължащи се на постоянен магнит, ще има свързана плътност на магнитния поток (B) от него. Когато прилагаме теорема за дивергенция към повърхности S1, S2, S3 или S4, виждаме, че броят на поточните линии, влизащи и излизащи от избраната повърхност, остава същият. Следователно резултатът от теоремата за дивергенцията е Нула. Дори в повърхността S2 и S4 разминаването е нула, което означава, че нито северният полюс, нито южният полюс действат поотделно на източник или потъване като електрическите заряди. Дори когато прилагаме дивергенция на магнитното поле (B) поради ток, носещ проводник, се оказва нула.
Неразделната форма на закона на Магнетизъм на Гаус е:
Диференциалната форма на закона на Магнетизъм на Гаус е:
От това бихме могли да заключим, че магнитни монополи не съществуват.
3. Законът за индукция на Фарадей
Законът на Фарадей гласи, че когато има промяна в магнитния поток (променящ се по отношение на времето), свързващ намотка или някакъв проводник, в намотката ще бъде индуцирана ЕМП. Ленц заяви, че индуцираната ЕМП ще бъде в такава посока, че да се противопоставя на промяната в магнитния поток, който я произвежда.
В горната илюстрация, когато проводяща плоча или проводник се поставят под въздействието на променящо се магнитно поле, в него се индуцира циркулиращ ток. Токът се индуцира в такава посока, че произведеното от него магнитно поле се противопоставя на променящото се магнитно, което го е създало. От тази илюстрация става ясно, че променящото се или променящо се магнитно поле създава циркулиращо електрическо поле.
От закона на Фарадей, emf = - dϕ / dt
Ние знаем това, ϕ = затворена повърхност ʃ B. dS emf = - (d / dt) ʃ B. dS
Електрическо поле E = V / d
V = ʃ E.dl
Тъй като електрическото поле се променя по отношение на повърхността (къдрянето), съществува потенциална разлика V.
Следователно интегралната форма на четвъртото уравнение на Максуел е,
Прилагайки теоремата на Стоук,
Причината за прилагането на теоремата на Стоук е, че когато вземем къдряне на въртящо се поле върху затворена повърхност, вътрешните компоненти на къдрене на вектора се анулират и това води до оценка на векторното поле по затворения път.
Следователно можем да напишем това,
Диференциалната форма на уравнението на Максуел е
От горния израз става ясно, че магнитното поле, променящо се по отношение на времето, създава циркулиращо електрическо поле.
Забележка: В електростатиката къдренето на електрическо поле е нула, тъй като то излиза радиално навън от заряда и с него няма свързан въртящ се компонент.
4. Законът на Ампер
Законът на Ампер гласи, че когато електрически ток протича през проводник, той създава магнитно поле около него. Математически линейният интеграл на магнитното поле около затворен контур дава общия ток, затворен от него.
ʃ B .dl = μ 0 I затворено
Тъй като магнитното поле се извива около жицата, можем да приложим теоремата на Стоук към закона на Ампер.
Следователно уравнението става
Можем да представим затворения ток по отношение на плътността на тока J.
B = μ 0 H, използвайки тази връзка, можем да запишем израза като
Когато прилагаме дивергенция към къдрянето на въртящо се векторно поле, резултатът е нула. Това е така, защото затворената повърхност не действа като източник или мивка, т.е. броят на потока, който влиза и излиза от повърхността, е еднакъв. Това може да бъде математически представено като,
Нека разгледаме схема, както е илюстрирано по-долу.
Към веригата има свързан кондензатор. Когато прилагаме дивергенция в областта S1, резултатът показва, че тя е ненулева. В математическа нотация,
Във веригата има ток, но в кондензатора зарядите се прехвърлят поради промяна на електрическото поле в плочите. Така че физически токът не протича през него. Максуел измисли този променящ се електрически поток като ток на изместване (J D). Но Максуел е измислил термина Изместващ ток (J D), имайки предвид симетрията на закона на Фарадей, т.е. ако магнитното поле, променящо се във времето, създава електрическо поле, тогава чрез симетрия, променящото се електрическо поле създава магнитно поле.
Извиването на интензивността на магнитното поле (H) в областта S1 е
Интегралната форма на четвъртото уравнение на Максуел може да бъде изразена като:
Диференциалната форма на четвъртото уравнение на Максуел е:
Всички тези четири уравнения, в интегрална форма или диференциална форма, взети заедно, се наричат уравнение на Максуел.